Kalkulus Diferensial

Turunan Fungsi Invers      Dalam matematika, suatu fungsi (misalnya f), dikatakan invers dari fungsi lain (misalnya g), jika diberi keluaran dari g mengembalikan nilai masukan yang diberikan ke f. Selain itu, hal ini harus berlaku untuk setiap elemen dalam domain co-domain (rentang) g. Misal dengan asumsi x dan y adalah konstanta jika g(x) = y dan f(y) = x maka fungsi f dikatakan invers dari fungsi g. Atau dengan kata lain, jika suatu fungsi f : A ⇢ B adalah satu – satu dan termasuk dalam fungsi atau fungsi bijektif, maka fungsi yang didefinisikan oleh g : B ⇢ A disebut invers dari fungsi f. Fungsi invers disebut juga anti fungsi. Kebalikan dari fungsi dilambangkan dengan f -1 . f(g(x)) = g(f(x)) = x Di sini, f dan g adalah fungsi invers.   Prosedur mencari invers dari f: ·          Periksa fungsi satu-satu dan ke. ·          Jika dapat dibalik, tukarkan x dan y dalam defi...

Rumus-rumus Turunan Fungsi Sinus, Cosinus, dan Tangen Pembuktian rumus Turunan fungsi trigonometri sinus, Cosinus dan Tangen a.        Pembuktian turunan Fungsi sinus trigonometri Jika f(x) = sinx ⇒ f'(x) = cosx   Pembuktian:   b.       Pembuktian Turunan fungsi trigonometri cosinus Jika f(x) = cosx ⇒ f'(x) = - sin x Pembuktian:   c.        Pembuktian Turunan fungsi trigonometri tangen Jika , Pembuktian:       Pembuktian Rumus Turunan Fungsi Trigonometri Cosecan, Secan, dan Kotangen a.        Turunan Fungsi trigonometri Cosecan Jika f(x) = cosec x , maka f'(x) = - cot x . cosec x           Pembuktian:      b.       Turunan Fungsi Secan Jika f(x) = detik x , maka f'(x) = tan x . detik x          Pembuktian:   ...

Turunan Nilai Ekstrim Fungsi      Nilai ekstrim membantu membuktikan keberadaan nilai maksimum dan minimum dari fungsi kontinu bernilai nyata dalam interval tertutup. Nilai ekstrem suatu fungsi f(x) adalah nilai y = f(x) yang dicapai suatu fungsi untuk masukan tertentu x sehingga tidak ada nilai f(x) lain dalam rentang tersebut yang lebih besar atau lebih kecil dari nilai tersebut. Kami memiliki dua jenis nilai ekstrem: maksimum dan minimum. Nilai maksimum suatu fungsi adalah nilai sedemikian rupa sehingga tidak ada nilai lain dari fungsi tersebut yang lebih besar dari nilai tersebut, dan nilai minimum suatu fungsi adalah suatu nilai sedemikian rupa sehingga tidak ada nilai lain dari fungsi tersebut yang lebih kecil dari nilai tersebut.      Turunan nilai ekstrim menyatakan bahwa 'Jika suatu fungsi bernilai real f kontinu pada interval tertutup [a, b] (dengan a < b), maka terdapat dua bilangan real c dan d pada [a, b] sehingga f (c) adalah ni...

Turunan Tingkat Tinggi      Turunan dari fungsi   f   adalah suatu fungsi yang dinamakan  turunan pertama  dari   f,  yaitu  f′  jika fungsi  f′  ini dihitung lagi turunannya dengan aturan atau definisi turunan, maka diperoleh fungsi baru yang dinamakan  turunan kedua  dari fungsi  f , dan ditulis dengan lambang   f″.  Secara umum turunan ke -n  dari fungsi  f  , ditulis  f (n) , adalah suatu fungsi yang diperoleh dengan cara menghitung turunan dari fungsi  f (n-1) , n = 1, 2, 3, … , dengan  f (0) (x) =  f (x). Sebagai contoh, f (x) = 2x 3  – 4x 2  + 7x – 8 Maka f ′(x) = 6x 2  – 8x + 7 f ″(x) = 12x – 8 f ‴(x) = 12 f ″″(x) = 0 Karena turunan dari fungsi nol adalah nol, maka semua turunan tingkat yang lebih tinggi akan nol   Bentuk Umum Turunan ke -  n      Dari aturan  f (n)...

     Kecekungan suatu fungsi.  Karakteristik suatu fungsi yang naik atau turun dapat kita gunakan untuk mendeskripsikan grafik fungsi tersebut. Selain itu, apabila kita tahu dimana letak selang yang membuat  f ’  naik atau turun maka kita dapat menentukan di mana grafik fungsi  f  akan  cekung ke atas  atau  cekung ke bawah . Definisi Kecekungan      Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Grafik f akan  cekung ke atas  pada I jika f ’ naik pada selang tersebut dan akan  cekung ke bawah  pada I jika f ’ turun pada selang tersebut.  Interpretasi grafis kecekungan dari suatu fungsi berikut akan sangat berguna. Misalkan  f  terdiferensialkan pada selang buka  I . Jika grafik  f  cekung ke atas pada  I , maka grafik  f  berada  di atas  semua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (a) di bawah). ...

  Definisi Turunan Fungsi Jika y adalah suatu fungsi dari x atau y = f(x), maka f'(x) = y'(x) atau dy/dx seluruhnya menyatakan turunan pertama dari f terhadap x.  Definisi turunan fungsi f(x) memenuhi seperti persamaan berikut.   Teorema pada Turunan Fungsi Teorema 1 Turunan dari sebuah konstanta k adalah 0: d/dx k = 0  Bukti: Teorema 2 (Aturan Fungsi Identitas) Jika f(x) = x maka f'(x) = 1, atau dinotasikan melalui persamaan d/dx x = 1.  Bukti: Teorema 3 (Aturan Pangkat) Jika f(x) = xn maka f'(x) = n ⋅ xn−1 dengan n merupakan bilangan bulat positif. Atau secara matematis dapat juga dituliskan dengan persamaan: d(xn) =n ⋅ xn-1 dx.  Bukti: Teorema 4 (Aturan Kelipatan Konstanta) Jika k dan f berturut-turut adalah konstanta dan suatu fungsi yang dapat diturunkan, maka (kf)'(x) = k ⋅ f'(x) atau dinotasikan dengan persamaan berikut. Bukti: Andaikan F(x) = k ⋅ f(x) maka akan diperoleh persamaan F'(x) seperti berikut.   ...