Turunan Implisit dan Turunan Tingkat Tinggi

Turunan Tingkat Tinggi

    Turunan dari fungsi  f  adalah suatu fungsi yang dinamakan turunan pertama dari  f, yaitu f′ jika fungsi f′ ini dihitung lagi turunannya dengan aturan atau definisi turunan, maka diperoleh fungsi baru yang dinamakan turunan kedua dari fungsi f, dan ditulis dengan lambang  f″. Secara umum turunan ke-n dari fungsi f , ditulis f(n), adalah suatu fungsi yang diperoleh dengan cara menghitung turunan dari fungsi f(n-1), n = 1, 2, 3, … , dengan f(0)(x) = f(x). Sebagai contoh,

f(x) = 2x3 – 4x2 + 7x – 8

Maka

f′(x) = 6x2 – 8x + 7

f″(x) = 12x – 8

f‴(x) = 12

f″″(x) = 0

Karena turunan dari fungsi nol adalah nol, maka semua turunan tingkat yang lebih tinggi akan nol

 

Bentuk Umum Turunan ke - n

    Dari aturan f(n) untuk sejumlah  berhingga n, seringkali kita dapat menentukan suatu bentuk umum dari f(n). Pada beberapa contoh berikut kita akan membahas beberapa contoh tentang bentuk umum dari turunan ke-n tersebut.

Contoh 1.  Hitunglah turunan ke-n dari fungsi f(x) = xm, m bilangan asli.

Jawab: Turunan pertama, kedua, dan ketiga dari fungsi f adalah

                        f′(x)  = m xm-1

                        f″(x) = m (m-1 ) xm-2

                        f‴(x) = m(m-1) (m-2)  xm-3

Dari tiga bentuk aturan ini, bentuk umum turunan ke-n dari fungsi f adalah

            f(n)(x) = m(m - 1) ( m- 2) … (m – (n - 1)) xm-n

                         = m(m – 1)(m – 2) ... (m – n + 1) xm-n

 

Turunan Implisit

    Jika hubungan antara ydan xdapat dituliskan dalam bentuk y= f(x),maka y disebut fungsi eksplisitdari x, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya dapat dituliskan dalam ruas yang berbeda. Bila tidak demikian,maka dikatakan y fungsi implisit dari x. 

Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan aturan rantai dan anggap yfungsi dari x.

 

 

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Turunan Invers Fungsi, Trigonometri, dan Logaritma

Gambar
Turunan Fungsi Invers      Dalam matematika, suatu fungsi (misalnya f), dikatakan invers dari fungsi lain (misalnya g), jika diberi keluaran dari g mengembalikan nilai masukan yang diberikan ke f. Selain itu, hal ini harus berlaku untuk setiap elemen dalam domain co-domain (rentang) g. Misal dengan asumsi x dan y adalah konstanta jika g(x) = y dan f(y) = x maka fungsi f dikatakan invers dari fungsi g. Atau dengan kata lain, jika suatu fungsi f : A ⇢ B adalah satu – satu dan termasuk dalam fungsi atau fungsi bijektif, maka fungsi yang didefinisikan oleh g : B ⇢ A disebut invers dari fungsi f. Fungsi invers disebut juga anti fungsi. Kebalikan dari fungsi dilambangkan dengan f -1 . f(g(x)) = g(f(x)) = x Di sini, f dan g adalah fungsi invers.   Prosedur mencari invers dari f: ·          Periksa fungsi satu-satu dan ke. ·          Jika dapat dibalik, tukarkan x dan y dalam defi...
Baca selengkapnya

Turunan Fungsi Trigonometri ( Eksponensial, Logaritma)

Gambar
Rumus-rumus Turunan Fungsi Sinus, Cosinus, dan Tangen Pembuktian rumus Turunan fungsi trigonometri sinus, Cosinus dan Tangen a.        Pembuktian turunan Fungsi sinus trigonometri Jika f(x) = sinx ⇒ f'(x) = cosx   Pembuktian:   b.       Pembuktian Turunan fungsi trigonometri cosinus Jika f(x) = cosx ⇒ f'(x) = - sin x Pembuktian:   c.        Pembuktian Turunan fungsi trigonometri tangen Jika , Pembuktian:       Pembuktian Rumus Turunan Fungsi Trigonometri Cosecan, Secan, dan Kotangen a.        Turunan Fungsi trigonometri Cosecan Jika f(x) = cosec x , maka f'(x) = - cot x . cosec x           Pembuktian:      b.       Turunan Fungsi Secan Jika f(x) = detik x , maka f'(x) = tan x . detik x          Pembuktian:   ...
Baca selengkapnya

Operasi Fungsi

Apa itu fungsi?      F ungsi adalah suatu hubungan yang mengaitkan setiap elemen dari satu himpunan (yang disebut domain) dengan tepat satu elemen dari himpunan lain (yang disebut codomain). Fungsi umumnya dilambangkan dengan f ( x ), di mana x adalah variabel independen, dan f ( x ) adalah nilai yang dihasilkan oleh fungsi pada nilai x . Fungsi adalah hubungan matematis antara suatu variabel independen (x) dan variabel dependen ( y ) . Fungsi dapat direpresentasikan dalam bentuk persamaan atau grafik. Ada empat operasi utama yang dapat dilakukan pada fungsi: penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Operasi Fungsi Pada dasarnya ada 4 jenis operasi fungsi, yaitu: ·          Operasi penambahan Fungsi ·          Operasi pengurangan Fungsi ·          Operasi perkalian Fungsi ·          Operas...
Baca selengkapnya