Turunan Invers Fungsi, Trigonometri, dan Logaritma

Turunan Fungsi Invers

    Dalam matematika, suatu fungsi (misalnya f), dikatakan invers dari fungsi lain (misalnya g), jika diberi keluaran dari g mengembalikan nilai masukan yang diberikan ke f. Selain itu, hal ini harus berlaku untuk setiap elemen dalam domain co-domain (rentang) g. Misal dengan asumsi x dan y adalah konstanta jika g(x) = y dan f(y) = x maka fungsi f dikatakan invers dari fungsi g. Atau dengan kata lain, jika suatu fungsi f : A ⇢ B adalah satu – satu dan termasuk dalam fungsi atau fungsi bijektif, maka fungsi yang didefinisikan oleh g : B ⇢ A disebut invers dari fungsi f. Fungsi invers disebut juga anti fungsi. Kebalikan dari fungsi dilambangkan dengan f -1 .

f(g(x)) = g(f(x)) = x

Di sini, f dan g adalah fungsi invers.

 

Prosedur mencari invers dari f:

·         Periksa fungsi satu-satu dan ke.

·         Jika dapat dibalik, tukarkan x dan y dalam definisi f(x).

·         Temukan y dalam bentuk x.

·         Diperoleh y merupakan invers dari f yang didefinisikan dari B ⇢ A.

Contoh: 

f(x) = ^ex

Invers dari f(x) akan diperoleh y ↔ x

x = ^ey

Sekarang, e ^x dan ln x adalah fungsi invers satu sama lain.

 

Fungsi invers e x dan ln x adalah simetri terhadap y = x.

 

    Jika suatu fungsi f(x) merupakan fungsi satu-satu kontinu atau fungsi bijektif yang terdefinisi pada suatu interval katakanlah I, maka inversnya juga kontinu dan jika fungsi f(x) merupakan fungsi terdiferensiasi, maka fungsi tersebut invers juga merupakan fungsi terdiferensiasi.

Di sini, f dan g adalah fungsi invers. Ini dikenal sebagai teorema fungsi invers.

Oleh karena itu, turunan fungsi invers terpecahkan.

Turunan Invers Trigonometri

    Fungsi invers trigonometri adalah fungsi invers suatu fungsi trigonometri (dengan domain yang terbatas). Dengan kata lain, fungsi invers trigonometri adalah fungsi invers suatu fungsi sinus , kosinus , tangen , kotangen , sekan dan kosekan , dan digunakan untuk mencari suatu sudut dari rasio trigonometri sudut yang lain.

Yang dimaksud dengan invers trigonometri adalah balikan dari fungsi trigonometri.

y = sin x maka x = arc sin y

y = cos x maka x = arc cos y

y = tan x maka x = arc tan y

y = cot x maka x = arc cot y

y = sec x maka x = arc sec y

y = csc x maka x = arc csc y

 

Artinya

arc sin 1 = 90^o

arc sin 1/2 = 30^o

arc tan 1 = 45^o

dan sebagainya

 

Turunan Invers Trigonometri

 

Turunan fungsi invers trigonometri dapat dituliskan dalam notasi alternatif sebagai berikut:

 

Fungsi Invers pada Fungsi Logaritma

Dalam matematika, fungsi logaritma dinyatakan sebagai berikut:

dengan b merupakan basis, f(x) merupakan pangkat yang dicari, dan a adalah nilai dari hasil perpangkatannya. Untuk menemukan fungsi inverse pada fungsi logaritma. Saya akan jelaskan langkah-langkah sebagai berikut:

Langkah 1: Ganti f(x) dengan y.

    Langkah pertama ini adalah langkah umum yang biasa dilakukan untuk mencari fungsi inverse pada setiap fungsi. Jadi jangan lewatkan langkah pertama ini.

Langkah 2: Tukarkan x dengan y dan y dengan x.

    Penukaran variabel x dengan variabel y dan sebaliknya dapat dilakukan baik ketika kedua variabel berada dalam satu ruas atau berada dalam variabel yang berbeda. Langkah ini juga merupakan langkah umum yang dilakukan pada fungsi inverse untuk fungsi yang lainnya khususnya pada fungsi yang memiliki jumlah pada satu variabel yang lebih dari dua. Maksudnya, banyaknya x pada ruas kanan terdapat 3 buah, yaitu x3, x2, dan x1. Dan banyaknya y pada ruas kiri hanya terdapat 1 buah, yaitu y. Sehingga ruas kanan ditukarkan dengan y menjadi y3, y2, dan y1. Dan ruas kiri ditukarkan dengan x menjadi x.

Langkah 3: Tetapkan salah satu ruas agar hanya terdapat fungsi logaritmanya saja.

    Dalam langkah ini, jika logaritmanya berada pada salah satu ruas, biarkan logaritma tersebut apa adanya. Selain fungsi logaritma dipindahruaskan.

Langkah 4: Transformasikan ke bentuk 

    Penggunaan transformasi pada fungsi logaritma digunakan untuk mencapai hasil fungsi inverse pada fungsi logaritma, Sehingga fungsi logaritma yang ditransformasikan akan berbentuk sebagai fungsi eksponensial karena kebalikan dari fungsi logaritma adalah fungsi eksponensial. Maksud dari fungsi P(x) ini adalah fungsi yang didalamnya adalah variabel x yang sudah ditukar, Q(y) adalah fungsi yang didalamnya adalah variabel y yang sudah ditukar, dan b adalah konstanta atau fungsi yang berupa konstanta.

Langkah 5: Selesaikan ke dalam bentuk variabel y dan ganti variabel y dengan f^{-1}(x).

    Langkah 5 ini merupakan langkah terakhir sehingga dengan menyelesaikan ke dalam variabel y maka kita akan melihat bentuk inverse dari fungsi logaritma itu. Jangan lupa untuk mengubah variabel y dengan  f^{-1}(x) untuk menghasilkan jawaban yang valid dalam hasil fungsi inverse pada fungsi logaritma.