Teorema pada Turunan Fungsi

 Definisi Turunan Fungsi

Jika y adalah suatu fungsi dari x atau y = f(x), maka f'(x) = y'(x) atau dy/dx seluruhnya menyatakan turunan pertama dari f terhadap x. Definisi turunan fungsi f(x) memenuhi seperti persamaan berikut.

 


Teorema pada Turunan Fungsi

Teorema 1

Turunan dari sebuah konstanta k adalah 0: d/dx k = 0

 Bukti:



Teorema 2 (Aturan Fungsi Identitas)

Jika f(x) = x maka f'(x) = 1, atau dinotasikan melalui persamaan d/dx x = 1.

 Bukti:



Teorema 3 (Aturan Pangkat)

Jika f(x) = xn maka f'(x) = n ⋅ xn−1 dengan n merupakan bilangan bulat positif. Atau secara matematis dapat juga dituliskan dengan persamaan: d(xn) =n⋅ xn-1 dx.

 Bukti:



Teorema 4 (Aturan Kelipatan Konstanta)

Jika k dan f berturut-turut adalah konstanta dan suatu fungsi yang dapat diturunkan, maka (kf)'(x) = k ⋅ f'(x) atau dinotasikan dengan persamaan berikut.


Bukti:

Andaikan F(x) = k⋅f(x) maka akan diperoleh persamaan F'(x) seperti berikut.

 

Teorema 5 (Aturan jumlah)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan, maka (f + g)'(x) = f'(x) + g'(x) atau dinotasikan dengan persamaan berikut.

 


Bukti:

Andaikan F(x) = f(x) + g(x) maka:

 


Teorema 6 (Aturan Selisih)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan, maka (f – g)'(x) = f'(x) – g'(x) atau dinotasikan dengan persamaan berikut.


Bukti:

Andaikan F(x) = f(x) – g(x) maka turunan fungsi F(x) atau F'(x) akan memenuhi persamaan berikut.

 


Teorema 7 (Aturan Turunan Hasil Kali)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan, maka (f × g)'(x) = f(x)g'(x) + g(x)f'(x) atau dinotasikan dengan persamaan berikut.



Bentuk arutan hasil kali sering dinyatakan dalam persamaan u dan v, misalkan u = f(x) dan v = g(x) maka: Dx(uv) = u⋅Dx(v) + v⋅Dx(u) = uv’ + vu’.


Bukti:

Andaikan F(x) = f(x) × g(x) maka turunan fungsi hasil kali akan memenuhi persamaan berikut.

 


Teorema 8 (Aturan Hasil Bagi)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan, dengan g(x) ≠ 0 maka

 


misalkan u = f(x) dan v = g(x) maka:


Bukti:

Andaikan F(x) = f(x)/g(x) maka turunan fungsi F(x) akan memenuhi persamaan di bawah.

 


 

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Turunan Fungsi Trigonometri ( Eksponensial, Logaritma)

Gambar
Rumus-rumus Turunan Fungsi Sinus, Cosinus, dan Tangen Pembuktian rumus Turunan fungsi trigonometri sinus, Cosinus dan Tangen a.        Pembuktian turunan Fungsi sinus trigonometri Jika f(x) = sinx ⇒ f'(x) = cosx   Pembuktian:   b.       Pembuktian Turunan fungsi trigonometri cosinus Jika f(x) = cosx ⇒ f'(x) = - sin x Pembuktian:   c.        Pembuktian Turunan fungsi trigonometri tangen Jika , Pembuktian:       Pembuktian Rumus Turunan Fungsi Trigonometri Cosecan, Secan, dan Kotangen a.        Turunan Fungsi trigonometri Cosecan Jika f(x) = cosec x , maka f'(x) = - cot x . cosec x           Pembuktian:      b.       Turunan Fungsi Secan Jika f(x) = detik x , maka f'(x) = tan x . detik x          Pembuktian:   ...
Baca selengkapnya

Turunan Invers Fungsi, Trigonometri, dan Logaritma

Gambar
Turunan Fungsi Invers      Dalam matematika, suatu fungsi (misalnya f), dikatakan invers dari fungsi lain (misalnya g), jika diberi keluaran dari g mengembalikan nilai masukan yang diberikan ke f. Selain itu, hal ini harus berlaku untuk setiap elemen dalam domain co-domain (rentang) g. Misal dengan asumsi x dan y adalah konstanta jika g(x) = y dan f(y) = x maka fungsi f dikatakan invers dari fungsi g. Atau dengan kata lain, jika suatu fungsi f : A ⇢ B adalah satu – satu dan termasuk dalam fungsi atau fungsi bijektif, maka fungsi yang didefinisikan oleh g : B ⇢ A disebut invers dari fungsi f. Fungsi invers disebut juga anti fungsi. Kebalikan dari fungsi dilambangkan dengan f -1 . f(g(x)) = g(f(x)) = x Di sini, f dan g adalah fungsi invers.   Prosedur mencari invers dari f: ·          Periksa fungsi satu-satu dan ke. ·          Jika dapat dibalik, tukarkan x dan y dalam defi...
Baca selengkapnya