Turunan Nilai Ekstrim Fungsi dan Teorema Nilai Rata- Rata

Turunan Nilai Ekstrim Fungsi

    Nilai ekstrim membantu membuktikan keberadaan nilai maksimum dan minimum dari fungsi kontinu bernilai nyata dalam interval tertutup. Nilai ekstrem suatu fungsi f(x) adalah nilai y = f(x) yang dicapai suatu fungsi untuk masukan tertentu x sehingga tidak ada nilai f(x) lain dalam rentang tersebut yang lebih besar atau lebih kecil dari nilai tersebut. Kami memiliki dua jenis nilai ekstrem: maksimum dan minimum. Nilai maksimum suatu fungsi adalah nilai sedemikian rupa sehingga tidak ada nilai lain dari fungsi tersebut yang lebih besar dari nilai tersebut, dan nilai minimum suatu fungsi adalah suatu nilai sedemikian rupa sehingga tidak ada nilai lain dari fungsi tersebut yang lebih kecil dari nilai tersebut.

    Turunan nilai ekstrim menyatakan bahwa 'Jika suatu fungsi bernilai real f kontinu pada interval tertutup [a, b] (dengan a < b), maka terdapat dua bilangan real c dan d pada [a, b] sehingga f (c) adalah nilai minimum dan f(d) adalah nilai maksimum dari f(x). Secara matematis, rumus turunan nilai ekstrim dapat dituliskan sebagai, f(c) ≤ f(x) ≤ f(d), ∀ x ∈ [a, b] .nilai ekstrim juga dapat dinyatakan sebagai 'Jika suatu fungsi bernilai riil f kontinu pada [a, b], maka f mencapai maksimum dan minimum [a, b].

    Sekarang, perlu dibuktikan bahwa f mencapai maksimumnya pada interval tertutup [a, b]. Bukti bahwa f mencapai titik minimum pada [a, b] dapat dibuktikan dengan persamaan yang sama. Berdasarkan hipotesis, f kontinu di [a, b], jadi f dibatasi pada [a, b] sedemikian rupa sehingga terdapat m, M sedemikian rupa sehingga kita mempunyai m ≤ f(x) ≤ M menggunakan Teorema Batas. Di sini, misalkan M adalah batas atas terkecil dari f. Sekarang, jika terdapat c di [a, b] sehingga f(c) = M, maka ini berarti f mencapai maksimum pada [a, b]. Kami telah membuktikan hasil yang dibutuhkan. Asumsikan tidak ada c di [a, b], maka kita punya f(x) < M untuk semua x di [a, b]. Definisikan suatu fungsi h(x) = 1 / [M - f(x)] pada [a, b]. Sekarang kita tahu bahwa h(x) > 0 karena f(x) < M untuk semua x pada [a, b] dan h juga kontinu di [a, b]. Jadi, dengan menggunakan teorema keterbatasan, diperoleh h(x) yang dibatasi pada [a, b]. Artinya terdapat K > 0 sehingga h(x) ≤ K, untuk semua x di [a, b].

⇒ 1 / [M - f(x)] ≤ K

⇒ M - f(x) ≥ 1/K

Menambahkan f(x) - 1/K di kedua sisi, kita mendapatkan

⇒ M - 1/K ≥ f(x)

⇒ f(x) ≤ M - 1/K

Hal ini bertentangan dengan fakta bahwa M adalah batas atas terkecil dari f(x). Oleh karena itu, asumsi kita bahwa tidak ada c di [a, b] sehingga f(c) = M salah. Oleh karena itu, f mencapai maksimum pada [a, b].Sehingga dapat dibuktikan bahwa f mencapai nilai minimumnya pada [a, b] pada garis yang sama.

Teorema Nilai Rata- Rata

Teorema ini mengatakan bahwa jika grafik sebuah fungsi kontinu mempunyai garis singgung tak vertikal pada setiap titik antara A dan B, maka terdapat paling sedikit satu titik C pada grafik antara A dan B sehingga garis singgung di titik C sejajar talibusur AB.

Dalam Gambar 1, hanya terdapat satu titik C yang demikian; dalam Gambar 2, terdapat beberapa.

 

Gambar 1 dan Gambar 2

Teorema A: Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan

Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b] dan terdiferensial pada titik-titik dalam (a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a,b) di mana

atau, secara setara, di mana

 


Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Turunan Fungsi Trigonometri ( Eksponensial, Logaritma)

Gambar
Rumus-rumus Turunan Fungsi Sinus, Cosinus, dan Tangen Pembuktian rumus Turunan fungsi trigonometri sinus, Cosinus dan Tangen a.        Pembuktian turunan Fungsi sinus trigonometri Jika f(x) = sinx ⇒ f'(x) = cosx   Pembuktian:   b.       Pembuktian Turunan fungsi trigonometri cosinus Jika f(x) = cosx ⇒ f'(x) = - sin x Pembuktian:   c.        Pembuktian Turunan fungsi trigonometri tangen Jika , Pembuktian:       Pembuktian Rumus Turunan Fungsi Trigonometri Cosecan, Secan, dan Kotangen a.        Turunan Fungsi trigonometri Cosecan Jika f(x) = cosec x , maka f'(x) = - cot x . cosec x           Pembuktian:      b.       Turunan Fungsi Secan Jika f(x) = detik x , maka f'(x) = tan x . detik x          Pembuktian:   ...
Baca selengkapnya

Turunan Invers Fungsi, Trigonometri, dan Logaritma

Gambar
Turunan Fungsi Invers      Dalam matematika, suatu fungsi (misalnya f), dikatakan invers dari fungsi lain (misalnya g), jika diberi keluaran dari g mengembalikan nilai masukan yang diberikan ke f. Selain itu, hal ini harus berlaku untuk setiap elemen dalam domain co-domain (rentang) g. Misal dengan asumsi x dan y adalah konstanta jika g(x) = y dan f(y) = x maka fungsi f dikatakan invers dari fungsi g. Atau dengan kata lain, jika suatu fungsi f : A ⇢ B adalah satu – satu dan termasuk dalam fungsi atau fungsi bijektif, maka fungsi yang didefinisikan oleh g : B ⇢ A disebut invers dari fungsi f. Fungsi invers disebut juga anti fungsi. Kebalikan dari fungsi dilambangkan dengan f -1 . f(g(x)) = g(f(x)) = x Di sini, f dan g adalah fungsi invers.   Prosedur mencari invers dari f: ·          Periksa fungsi satu-satu dan ke. ·          Jika dapat dibalik, tukarkan x dan y dalam defi...
Baca selengkapnya

Teorema pada Turunan Fungsi

Gambar
  Definisi Turunan Fungsi Jika y adalah suatu fungsi dari x atau y = f(x), maka f'(x) = y'(x) atau dy/dx seluruhnya menyatakan turunan pertama dari f terhadap x.  Definisi turunan fungsi f(x) memenuhi seperti persamaan berikut.   Teorema pada Turunan Fungsi Teorema 1 Turunan dari sebuah konstanta k adalah 0: d/dx k = 0  Bukti: Teorema 2 (Aturan Fungsi Identitas) Jika f(x) = x maka f'(x) = 1, atau dinotasikan melalui persamaan d/dx x = 1.  Bukti: Teorema 3 (Aturan Pangkat) Jika f(x) = xn maka f'(x) = n ⋅ xn−1 dengan n merupakan bilangan bulat positif. Atau secara matematis dapat juga dituliskan dengan persamaan: d(xn) =n ⋅ xn-1 dx.  Bukti: Teorema 4 (Aturan Kelipatan Konstanta) Jika k dan f berturut-turut adalah konstanta dan suatu fungsi yang dapat diturunkan, maka (kf)'(x) = k ⋅ f'(x) atau dinotasikan dengan persamaan berikut. Bukti: Andaikan F(x) = k ⋅ f(x) maka akan diperoleh persamaan F'(x) seperti berikut.   ...
Baca selengkapnya