SISTEM BILANGAN RIIL

Apa itu sistem bilangan riil?

    Sistem bilangan riil adalah himpunan bilangan real yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma tertentu.

Bagaimana dengan Bilangan Riil?

    Bilangan riil adalah sekumpulan bilangan (rasional dan tak rasional) yang dapat mengukur panjang, bersama-sama dengan negatifnya dan nol. Bilangan real adalah gabungan dari bilangan rasional dan irasional. Bilangan riil juga dapat didefinisikan sebagai jenis bilangan yang mencakup semua angka yang dapat diwakili pada garis bilangan. Ini termasuk angka rasional (bilangan pecahan) dan angka irasional (bilangan yang tidak dapat diwakili dalam bentuk pecahan, seperti akar kuadrat dari angka bukan kuadrat sempurna).

    Bilangan riil meliputi semua angka dalam bentuk pecahan dan desimal, termasuk angka bulat positif dan negatif, serta angka desimal yang tak terhingga seperti π (pi) atau √2 (akar kuadrat dari 2). Dengan kata lain, bilangan riil mencakup seluruh rentang angka yang dapat kita temui dalam matematika dan dalam pengukuran dunia nyata.

Contoh bilangan riil

·         0

·         3

·         -5

·         1/2

·         0.25

·         √2 (akar kuadrat dari 2)

·         π (pi, 3.14159...)

·         2.71828... (bilangan Euler, e)

·         -√5 (akar kuadrat dari 5 dengan tanda negatif)

 

A.    Himpunan Bilangan Rasional

    Bilangan rasional atau dikenal dengan bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b, dengan a, b ∈ B dan b ≠ 0. Bilangan a disebut pembilang, sedangkan bilangan b disebut penyebut. Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan huruf Q dan terdiri atas himpunan pecahan negatif, himpunan pecahan positif, dan bilangan bulat. Bilangan rasional dapat ditulis menjadi dua macam, yaitu:

1)      Rasional Pecahan

·         Pecahan murni berbentuk a/b, a < b, b ≠ 0. Misalnya: 3/5; 5/7.

·         Pecahan campuran berbentuk a a/b, b < c, c ≠ 0. Misalnya 2 3/5; 4 5/7.

·         Pecahan palsu a/b, a habis dibagi b, b ≠ 0. Misalnya: 3/1; 15/5.

2)      Rasional Desimal

·         Rasional desimal terbatas. Misalnya: 0.30; 0.35; 0.357.

·         Rasional desimal tak terbatas berulang. Misalnya: 0.5555....; 0.345345345....

 

Sifat-Sifat Operasi pada Himpunan Bilangan Rasional

a.       Tertutup untuk penjumlahan dan perkalian

·         Penjumlahan: a/b + c/d = ad/bd + bc/bd

·         Perkalian: a/b * a/b = ac/bd

b.      Asosiatif untuk penjumlahan dan perkalian

(a/b + c/d) + e/f = a/b (c/d + e/f)

(a/b x c/d) x e/f = a/b (c/d + e/f)

c.       Distributif untuk hitung perkalian

a/b x (c/d + e/f) = a/b * c/d + a/b * e/f

d.      Komunikatif untuk penjumlahan dan perkalian

a/b + c/d = c/d + a/b

a/b * c/d = c/d * a/b

e.       Unsur identitas terhadap penjumlahan dan perkalian

a - 0 = 0 + a = a

a * 1 = 1 * a = a

f.        Unsur invers terhadap penjumlahan

a + (- a) = 0

a * a-1 = 1, a ≠ 0

 

 

B.     Bilangan Irasional

    Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak bisa diubah kedalam bentuk pecahan biasa ab, dan apabila kita mencoba untuk merubahnya ke dalam bentuk pecahan desimal, maka angkanya tidak akan berhenti, dan juga tidak memiliki pola tertentu. Salah satu contoh dari bilangan irasional yang paling populer adalah atau biasa kita sebut bilangan phi. Beberapa contoh bilangan irasional lainnya adalah seperti berikut ini:

Contoh:

√2 =1,4121356... atau √3=1,7320508...

Dari contoh diatas, kedua bilangan tersebut bila diubah ke bentuk desimal, tidak akan memiliki ujung, dan juga memiliki tidak pola tertentu. Namun tidak semua bilangan akar merupakan bilangan irasional, contohnya √4 atau √9 yang hasilnya adalah 2 dan juga 3.

 

Properti Bilangan Riil

·         Urutan: Bilangan riil dapat diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar dan sebaliknya.

·    Operasi Aritmatika: Operasi aritmatika seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dapat diterapkan pada bilangan riil.

·  Sifat Distributif: Hukum distribusi berlaku untuk operasi penjumlahan dan perkalian terhadap bilangan riil.

·    Properti Komutatif dan Asosiatif: Operasi penjumlahan dan perkalian pada bilangan riil bersifat komutatif dan asosiatif.

·     Bilangan Negatif: Setiap bilangan riil memiliki lawan negatifnya. Jika a adalah bilangan riil, maka −a juga merupakan bilangan riil.

·      Bilangan Nol: Setiap bilangan riil memiliki nilai nol (0).

·    Interval dan Notasi Ketidaksamaan: Bilangan riil sering dikelompokkan dalam interval dan notasi ketidaksamaan, seperti a<x<b yang berarti bilangan x terletak di antara a dan b.

 

Sifat-Sifat Khusus Bilangan Riil

·    Batas atas dan batas bawah: Dalam kumpulan bilangan riil, suatu subset bisa memiliki batas atas (supremum) dan batas bawah (infimum) jika mereka ada. Ini berguna dalam analisis matematika.

·      Densitas: Antara dua bilangan riil apa pun, selalu ada bilangan riil lainnya. Ini menunjukkan bahwa himpunan bilangan riil sangat padat.

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Turunan Invers Fungsi, Trigonometri, dan Logaritma

Gambar
Turunan Fungsi Invers      Dalam matematika, suatu fungsi (misalnya f), dikatakan invers dari fungsi lain (misalnya g), jika diberi keluaran dari g mengembalikan nilai masukan yang diberikan ke f. Selain itu, hal ini harus berlaku untuk setiap elemen dalam domain co-domain (rentang) g. Misal dengan asumsi x dan y adalah konstanta jika g(x) = y dan f(y) = x maka fungsi f dikatakan invers dari fungsi g. Atau dengan kata lain, jika suatu fungsi f : A ⇢ B adalah satu – satu dan termasuk dalam fungsi atau fungsi bijektif, maka fungsi yang didefinisikan oleh g : B ⇢ A disebut invers dari fungsi f. Fungsi invers disebut juga anti fungsi. Kebalikan dari fungsi dilambangkan dengan f -1 . f(g(x)) = g(f(x)) = x Di sini, f dan g adalah fungsi invers.   Prosedur mencari invers dari f: ·          Periksa fungsi satu-satu dan ke. ·          Jika dapat dibalik, tukarkan x dan y dalam defi...
Baca selengkapnya

Turunan Fungsi Trigonometri ( Eksponensial, Logaritma)

Gambar
Rumus-rumus Turunan Fungsi Sinus, Cosinus, dan Tangen Pembuktian rumus Turunan fungsi trigonometri sinus, Cosinus dan Tangen a.        Pembuktian turunan Fungsi sinus trigonometri Jika f(x) = sinx ⇒ f'(x) = cosx   Pembuktian:   b.       Pembuktian Turunan fungsi trigonometri cosinus Jika f(x) = cosx ⇒ f'(x) = - sin x Pembuktian:   c.        Pembuktian Turunan fungsi trigonometri tangen Jika , Pembuktian:       Pembuktian Rumus Turunan Fungsi Trigonometri Cosecan, Secan, dan Kotangen a.        Turunan Fungsi trigonometri Cosecan Jika f(x) = cosec x , maka f'(x) = - cot x . cosec x           Pembuktian:      b.       Turunan Fungsi Secan Jika f(x) = detik x , maka f'(x) = tan x . detik x          Pembuktian:   ...
Baca selengkapnya

Operasi Fungsi

Apa itu fungsi?      F ungsi adalah suatu hubungan yang mengaitkan setiap elemen dari satu himpunan (yang disebut domain) dengan tepat satu elemen dari himpunan lain (yang disebut codomain). Fungsi umumnya dilambangkan dengan f ( x ), di mana x adalah variabel independen, dan f ( x ) adalah nilai yang dihasilkan oleh fungsi pada nilai x . Fungsi adalah hubungan matematis antara suatu variabel independen (x) dan variabel dependen ( y ) . Fungsi dapat direpresentasikan dalam bentuk persamaan atau grafik. Ada empat operasi utama yang dapat dilakukan pada fungsi: penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Operasi Fungsi Pada dasarnya ada 4 jenis operasi fungsi, yaitu: ·          Operasi penambahan Fungsi ·          Operasi pengurangan Fungsi ·          Operasi perkalian Fungsi ·          Operas...
Baca selengkapnya